- 지수함수의 정의
임의의 실수 x에 a^x을 대응시키는 함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)을 a를 밑으로 하는 '지수함수'라 한다.
→ 함수 y = a^x에서 지수 x는 실수이므로 a > 0인 경우만 생각한다.
→ y = a^x 에서 a = 1이면 모든 실수 x에 대하여 y =1인 상수함수가 되므로, a = 1인 경우는 지수함수에서 제외한다.
- 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 성질
(1) 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양의 실수 전체의 집합이다.
(2) 그래프는 점(0, 1)과 점(1, α)를 지나고, 그래프 점근선은 x축(y = 0)이다.
(3) a > 1일때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하고, 0 < a < 1일때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
(4) y = a^x의 그래프와 y = (1/a)^x의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.
→ 점근선 : 곡선이 어떤 직선에 한없이 가까워질때, 이 직선을 그 곡선의 '점근선'이라고 한다.
→ 함수 : y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 x축으로 m, y축으로 n만큼 평행이동하면, y = a^(x-m) + n이다.
- 지수함수의 최대, 최소
지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)에서
(1) a > 1인 경우
f(x)가 최대이면, y도 최대이고, f(x)가 최소이면, y도 최소이다.
(2) 0 < a < 1인 경우
f(x)가 최대이면, y는 최소이고, f(x)가 최소이면, y는 최대이다.
→ a^x꼴이 반복되는 함수의 최대, 최소인 경우, a^x = t (t > 0)로 치환하여 구한다.
- 지수함수의 활용(방정식)
(1) 밑을 같게 할 수 있을때 => 지수를 비교한다.
a^f(x) = a^g(x) → f(x) = g(x) (a > 0, a ≠ 1)
(2) 지수가 같을때 => 밑이 같거나 지수가 0이다.
a^f(x) = b^f(x) → a = b or f(x) = 0 (a > 0, b > 0)
(3) 밑에도 지수가 포함될 때 => x > 0 일때
x^f(x) = x^g(x) → f(x) = g(x) or x = 1
(4) a^x의 꼴이 반복될 때 => a^x = t (t > 0)으로 치환
치환한 t로 방정식 풀기
+) 지수방정식 : 지수에 미지수가 있는 방정식
+) 지수함수를 이용한 대소비교
→ 함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)에서
(1) a > 1 일때
X1 < X2 → a^X1 < a^X2
(2) 0 < a < 1 일때
X1 < X2 → a^X1 > a^X2
- 지수함수의 활용(부등식)
(1) 밑을 같게 할 수 있을 때 = 지수를 비교
(밑) > 1 → 지수의 부등호 방향은 그대로
0 < (밑) < 1 → 지수의 부등호 방향은 반대로
(2) a^x꼴이 반복 될 때 = a^x를 t로 치환
치환한 t로 부등식 풀기
+) 지수부등식 : 지수에 미지수가 있는 부등식